Билет № 5

Системы счисления. Позиционные и непозиционные СС.

Система счисления — это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, которые существо­вали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, ис­пользуемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является рим­ская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

I                  V         X      L         С      D        М

1                  5         10      50        100    500      1000

Пример 1. Число ССХХХII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа — большая, то их значения вычитаются.

Пример 2

VI = 5 + 1 = 6, а IV = 5-1 = 4.

Пример 3

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) + +5+1+1+1= 1998.

В позиционных системах счисления величина, обозна­чаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления. Система счисления, применяемая в современной математи­ке, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционный характер этой системы легко понять на при­мере любого многозначного числа. Например в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая — три десятка, третья — три единицы.

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти араб­ским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов не­скольких систем:

 

Основание Название Алфавит
n = 2 двоичная 01
n = 3 троичная 0 1 2
n = 8 восьмеричная 0 1 2 3 4 5 6 7
n=16 шестнадцатеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Если требуется указать основание системы, к которой от­носится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например:

1011012,    36718,    3B8F16.

В системе счисления с основанием q (q-ичная система счис­ления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q. q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q-ичной системе счис­ления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1, …, q-1. Запись числа q в q-ичной системе счисления имеет вид 10.

Развернутой формой записи числа называется запись в виде

Aq = ±(an-1 qn-1 + an-2 qn-2 + . . .+a0 q0 + a-1 q-1 + a-2 q-2 + . . . + am qm).

Здесь Аq — само число, q — основание системы счисления, ai — цифры данной системы счисления, n — число разрядов целой части числа, m — число разрядов дробной части числа.

Пример 4.   Получить  развернутую форму десятичных чисел 32478; 26,387.

3247810 = 3 х 10000 + 2 х 1000 + 4 х 100 + 7 х 10 + 8 = 3 х 104 + 2 х 103 + 4 х 102 + + 7 х 101 + 8 х 100.

26,38710 = 2 х 101 + 6 х 100 + 3 х 10-1 + 8 х 10-2 + 7 х 10-3.

 

Пример 5. Получить развернутую форму чисел 1123, 1011012, 15FC16, 101,112

1123 = 1 х 102 + 1 х 101 + 2 х 100.

1011012 = 1 х 10101 + 0 х 10100+ 1 х 1011 + 1 х 1010 + 0 х 101 + 1 х 100.

15FC16 = 1 х 103 + 5 х 102 + F х 101 + С.

101,112 = 1 х 1010 + 0 х 101 + 1 х 100 + 1 х 10-1 + 1 х 10-10.

Обратите внимание, что в любой системе счисления ее ос­нование записывается как 10.

Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить получен­ное выражение по правилам десятичной арифметики, то по­лучится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную.

Пример 6. Все числа из предыдущего примера перевести в десятичную систему.

1123 = 1 х З2 +1 x 31 +2 x 3 = 9 + 3 + 2 = 1410.

1011012 = 1х25 + 0х24+ 1х23 + 1х22 + 0x2 + 1×20 =32 + 8 + 4 + 1 = 4510.

15FC16 = 1 х 163 + 5 х 162 + 15 х 161 + 12 = = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 562810.

101,112 = 1 х 22 + 0 х 21 + 1×20+ 1×2-1 + 12-2 = 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,7510.

Комментарии закрыты.